SICP 연습문제 2.13 친절한 풀이

문제

허용 오차를 아주 작은 퍼센트 값으로 나타냈다 치고, 허용 오차를 퍼센트로 나타낸 두 구간 값을 받아서 곱셈을 했을 때, 두 구간 값을 곱해서 나온 구간 값의 퍼센트 오차를 어림잡아 구할 수 있는 간단한 공식이 있음을 밝혀라. 이 문제를 풀 때 모든 수가 양수라고 가정하면, 문제가 쉬워진다.

문제로 부터 얻은 것

변수를 상정하고 일반적인 경우의 계산을 통해 가설을 증명하는 좋은 연습이 되었습니다.

문제풀이

문제에서 제안한 대로 모든 수가 양수인 두 구간을 상정하겠습니다.

$r_1 = (center: c_1, per: p_1 )$

$r_2 = (center: c_2, per: p_2 )$

위의 $r_1 × r_2$를 계산하면 아래와 같은 하한값과 상한값을 얻을 수 있습니다.

$upper: (c_1+100c_1p_1)(c_2+100c_2p_2)$

$lower: (c_1-100c_1p_1)(c_2-100c_2p_2)$

위의 범위에서 중간값, 넓이, 오차를 구하면 아래와 같습니다.

$center: c_1c_2+10000c_1c_2p_1p_2$

$width: 100c_1c_2(p_1+p_2)$

$percent: \frac{(p_1+p_2)}{0.0001+p_1p_2}$

즉, 두 구간 값을 곱해서 나온 구간 값의 퍼센트 오차는 어림잡아서 $\frac{(p_1+p_2)}{p_1p_2}$라는 것을 알 수 있습니다.

읽어주셔서 감사합니다.